문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 전자기파/전자기학의 경계치 문제 (문단 편집) ==== TE 모드 ==== 사각형 도파관에서 TE 모드는 전기장의 [math(z)]성분 [math(E_{z}=0)]인 경우를 의미한다. 도파관 내부엔 [[맥스웰 방정식]]이 성립하고, 진공 영역이다. 그리고, 계속해서 도파관 내부엔 자유 전하, 자유 전류가 없다는 암묵적인 가정을 사용한다. [math(H_{z})]에 대한 [[맥스웰 방정식]]은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial z^{2}}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial t^{2}} )] }}} 단색광을 고려하고 있고, 도파관 내부의 벡터장을 다루고 있으므로 평행판 도파관과 같이 모든 전기장 및 자기장 세기 성분은 [math(e^{i(k_{g}z- \omega t)})]에 비례한다고 놓을 수 있다. 따라서 위 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial y^{2}}-k_{g}^{2}H_{z}= -k^{2} H_{z} )] }}} 으로 놓을 수 있고, [math(k \equiv \omega/c)]이다. 위 [[편미분방정식]]은 변수분리 해법을 통해 쉽게 풀리며, 그 해는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [H_{z}]=\begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} )] }}} [math(A_{1} \sim A_{4})]는 상수이며, 아래 또한 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{g}^{2}=k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} )] }}} 이것의 의미는 나중에 논의하기로 한다. [[패러데이 법칙]]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=i \mu_{0} \omega \mathbf{H} )] }}} 이고[* 모든 벡터장이 [math(e^{i(k_{g}z- \omega t)})]에 비례한다는 사실을 상기하라. 따라서 모든 미분 연산에서 [math(\partial/\partial z=ik_{g})], [math(\partial/\partial t=-i \omega)]이다.], 각각의 성분을 비교하여 얻을 수 있는 것은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(E_{x}=\displaystyle \frac{\mu_{0} \omega}{k_{g}}H_{y} \qquad \qquad E_{y}=-\displaystyle \frac{\mu_{0} \omega}{k_{g}}H_{x})] }}} 마찬가지 방법으로, [[앙페르 법칙]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=-i \varepsilon_{0} \omega \mathbf{E} )] }}} 에서 각각의 성분을 비교하여 얻을 수 있는 것은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} i \varepsilon_{0} \omega E_{x}+\frac{\partial H_{z}}{\partial y}-i k_{g}H_{y} &=0 \\ i \varepsilon_{0} \omega E_{y}-\frac{\partial H_{z}}{\partial x}+i k_{g}H_{x} &=0 \end{aligned} )] }}} 위에서 [[패러데이 법칙]]으로 나왔던 식을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} ik_{g} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]H_{x} &=\frac{\partial H_{z}}{\partial x} \\ ik_{g} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]H_{y} &=\frac{\partial H_{z}}{\partial y} \end{aligned} )] }}} 식을 얻는다. 따라서 위의 조건들로 모든 전자기장의 성분을 구할 수 있으며, 그 결과는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} [H_{x}]&=-\frac{i k_{x}}{k_{g}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ \displaystyle [H_{y}]&=-\frac{i k_{y}}{k_{g}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ \displaystyle [E_{x}]&=-\frac{i \mu_{0} \omega k_{y}}{k_{g}^{2}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ \displaystyle [E_{y}]&=\frac{i \mu_{0} \omega k_{x}}{k_{g}^{2}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} ] \end{aligned})] }}} 이제는 경계 조건을 적용하도록 하자. 유전체 - 도체 경계면에서 각 경계면에 접선 성분은 상쇄돼야 하므로 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0 )] }}} 임을 알고 있으므로 다음이 만족해야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} E_{x}=0 \qquad &\mathrm{at} \qquad y=0 \,\, \mathrm{and} \,\, y=b \\ E_{y}=0 \qquad &\mathrm{at} \qquad x=0 \,\, \mathrm{and} \,\, x=a \end{aligned} )] }}} 모든 [math(x)], [math(y)]에 대해 위 식이 만족하려면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle A_{1}=A_{2}=A_{3}=0 \qquad \qquad k_{x}=\frac{m\pi}{a} \qquad \qquad k_{y}=\frac{n\pi}{a} )] }}} 을 만족해야 한다. [math(m)], [math(n)]은 0을 포함하는 양의 정수이다. 이상에서 모든 결과를 조합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle H_{z}=A_{4} \cos{\left( \frac{m \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi y}{a} \right)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} )] }}} [[편미분방정식]] 특성 상 위의 해는 아래와 같이 선형 결합으로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle H_{z}=\sum_{mn} A_{mn} \cos{\left( \frac{m \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi y}{a} \right)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} )] }}} 이 때, 합에 포함된 각각의 항에 해당하는 것을 [math(\mathrm{TE}_{mn})] 모드라 한다. 이제부터는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{g}^{2}=k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} )] }}} 의 의미를 알아보도록 하자. 파장과 파수와의 관계와 위에서 도출된 식에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \left( \frac{2 \pi}{\lambda_{g}} \right)^{2}&=\left( \frac{2 \pi}{\lambda} \right)^{2}-\left( \frac{m \pi}{a} \right)^{2}-\left( \frac{n \pi}{b} \right)^{2} \\ & \equiv \left( \frac{2 \pi}{\lambda} \right)^{2} -\left( \frac{2 \pi}{\lambda_{c}} \right)^{2} \end{aligned} )] }}} 형태로 쓸 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{\lambda_{c}^{2}}=\left( \frac{m}{2a} \right)^{2}+\left( \frac{n}{2b} \right)^{2} )] }}} 이다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \lambda_{g}=\left[ \left( \frac{1}{\lambda} \right)^{2}-\left( \frac{m}{2a} \right)^{2}-\left( \frac{n}{2b} \right)^{2} \right]^{-1/2} )] }}} 의 형태로도 쓸 수 있음을 얻는다. 따라서 여기에서도 평행판 도파관과 같이 [math(\lambda_{c}<\lambda)]이면, 파는 감쇠가 일어나므로 전파되지 않는다. 따라서 [math(\lambda_{c})]는 차단 파장임을 알 수 있고, [math(\lambda_{g})]는 도파관 파장이라는 사실을 쉽게 알 수 있다. 또한, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{g}=\sqrt{\left( \frac{\omega}{c} \right)^{2}-\left( \frac{\omega_{c}}{c} \right)^{2}} )] }}} 형태로 쓸 수 있으며, [math(\omega > \omega_{c})]의 조건을 만족하는 파만이 감쇠되지 않고, 도파관에서 전파될 수 있는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 여기서 나온 [math(\omega_{c})]를 평행판 도파관과 같이 차단 주파수라 한다. 이 경우 차단 주파수는 아래와 같이 나옴을 쉽게 증명할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \omega_{c}=c \sqrt{\left( \frac{m \pi}{a} \right)^{2}+\left( \frac{n \pi}{b} \right)^{2}} )] }}} 이제부터의 논의는 이 TE 모드의 차단 주파수가 최소가 되는 최저 모드를 찾아보도록 하자. [math(m=n=0)]의 상황을 고려하면, [math(k_{x}=k_{y}=0)]이 되고, [math(k_{g}=k)]가 된다. 이 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} E_{x} &\propto \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ E_{y} & \propto \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \end{aligned} )] }}} 을 만족하는데, [math(k_{x}=k_{y}=0)]이면, 모든 전기장 성분 [math(E_{x}=E_{y}=E_{z}=0)]이 되므로 전자기장은 도파관 내부에 존재할 수 없다.[* 아마도 일부 사람들은 위에서 구한 [math(H_{z})]에 [math(m=n=0)]을 대입해본 뒤, [math(H_{z})]가 존재할 수 있다고 믿을 수도 있다. 하지만, 전자기파는 전기장의 변화가 자기장을 유도하고, 자기장의 변화가 전기장을 유도하면서 진행하는 파라는 것을 상기하면 존재하지 않을 수밖에 없다는 것을 쉽게 알 수 있다.] 따라서 최저 모드는 [math(a \geq b)]를 만족할 때, [math(\mathrm{TE}_{10})] 모드 임을 쉽게 보일 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기